Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 9a

Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ > 0, 0 ≤ θ

a equação de Laplace fica:

Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.

A primeira dessas equações é do tipo de Euler, enquanto a terceira está relacionada com a equação de Legendre.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

Para a função, temos que:

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Pela condição de reciprocidade, vamos chegar a:

Resposta

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