Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ > 0, 0 ≤ θ

a equação de Laplace fica:

Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.

A primeira dessas equações é do tipo de Euler, enquanto a terceira está relacionada com a equação de Legendre.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

ρ u ρ ρ + 2 ρ u ρ + csc 2 ⁡ ϕ u θ θ + u ϕ ϕ = 0

Para a função, temos que:

ρ ²   P ' ' + 2 ρ P ' - μ 2 P = 0  

Θ ' ' + λ 2 Θ = 0

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' + μ 2 sin 2 ⁡ ϕ - λ 2 Φ = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Pela condição de reciprocidade, vamos chegar a:

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' Φ + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' Φ + μ 2 = Θ ' ' Θ

Resposta

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' Φ + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' Φ + μ 2 = Θ ' ' Θ

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