Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

y t = y c t + y p ( t )

y c ' ' + 2 y c ' + 5 y c = 0

y c = e r t

y c ' = r e r t

y c ' ' = r ² e r t

r 2 + 2 r + 5 = 0

r = - 1 - 2 i , - 1 + 2 i

y c t = C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y p ' ' + 2 y p ' + 5 y p = 3 sin ⁡ 2 t

A + 4 B = 0

- 4 A + B =   3

A =   - 12 17

B = 3 17

y p t =   - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

y t =   C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

Resposta

y t =   C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

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