Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira (Teorema 4.2 . 3 ) podem ser falsas, sem a hipótese de que f seja contínua em x₀ .

Passo 1

Vamos lá, temos que o Teste da Derivada Primeira nos diz que:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Passo 2

Temos que quando f ' x > 0 para x ∈ - ∞ , x 0 e f ' x < 0 para x ∈ x 0 , + ∞ de acordo com o Teorema nós diríamos que o ponto x = x 0 seria um ponto de máximo, mas isso não seria verdade de a função não é contínua em x = x 0 . Como podemos ver no gráfico abaixo:

Passo 3

E da mesma forma quando f ' x < 0 para x ∈ - ∞ , x 0 e f ' x > 0 para x ∈ x 0 , + ∞ de acordo com o Teorema nós diríamos que o ponto x = x 0 seria um ponto de mínimo, mas isso não seria verdade de a função não é contínua em x = x 0 .

Passo 4

Por último, se f ' x tem o mesmo sinal em um intervalo aberto x ∈ - ∞ , x 0 ∪ x 0 , ∞ , então f não tem extremo relativo em x 0 . Entretanto isso é falso se a função não é contínua em x = x 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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