Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 82

Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira (Teorema ) podem ser falsas, sem a hipótese de que seja contínua em .

Passo 1

Vamos lá, temos que o Teste da Derivada Primeira nos diz que:

Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um máximo relativo em .

Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um mínimo relativo em .

E se tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então não tem extremo relativo em .

Passo 2

Temos que quando para e para de acordo com o Teorema nós diríamos que o ponto seria um ponto de máximo, mas isso não seria verdade de a função não é contínua em . Como podemos ver no gráfico abaixo:

Passo 3

E da mesma forma quando para e para de acordo com o Teorema nós diríamos que o ponto seria um ponto de mínimo, mas isso não seria verdade de a função não é contínua em .