Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 5
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.
Passo 1
Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.
Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.
OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.
Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é
Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é .
Ele está no intervalo, então vamos ver se é extremo.
Passo 2
Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.
Lembrando, se então é mínimo, se então é máximo.
Temos,
Para
Logo é ponto de mínimo relativo
Passo 3
Agora vamos pegar as bordas do intervalo, mas elas são infinito. Como faz isso? Basta calcularmos os limites no infinito mesmo:
E
Vamos colocar em evidência:
Os limites vão ser
Esse dois vão fizer que não temos valor de máximo absoluto.
Passo 4
Por fim, temos que comparar os valores de para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo. Mas só sobrou aquele mínimo, então ele vai ser absoluto mesmo.
O valor da função vai ser
Resposta
Não possúi máximo absoluto.