Suponha que uma função seja diferenciável em com , e seja , , uma reta pela origem de inclinação não nula.
- Prove que existe um intervalo aberto contendo , tal que, para cada nesse intervalo, vale . [Sugestão: Tome e aplique a Definição a com .]
- Conclua, usando a parte (a) e a desigualdade triangular, que existe um intervalo aberto contendo , tal que com qualquer nesse intervalo.
- Explique por que o resultado obtido em (b) pode ser interpretado como significando que a reta tangente ao gráfico de na srcem é a melhor aproximação linear de naquele ponto.
Passo 1
- Vamos fazer como sugerido, e como no enunciado nos fala que temos que .
- Da letra (a) temos que para , .
- Vamos pegar qualquer linha reta da forma , que deve aproximar a curva para valores pequenos de , então desde que .
Também nos é dito no enunciado que , assim sabemos que existe tal que:
onde quer que seja .
Vamos substituir os valores em:
Assim então para .
Então é só substituir por e obtemos o resultado que queremos:
para
Passo 2
Podemos então fazer que:
Vamos agora aplicar a Desigualdade Triangular :
Pronto, agora vamos manipular um pouco essa expressão:
Pronto, concluímos o que queríamos!
Passo 3
E a desigualdade também pode ser interpretada como:
Ou seja, a reta é uma aproximação melhor do que .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)