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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 53

Suponha que uma função f seja diferenciável em x = 0 com f 0 = f ' 0 = 0 , e seja y = m x , m ≠ 0 , uma reta pela origem de inclinação não nula.

  1. Prove que existe um intervalo aberto contendo 0 , tal que, para cada x nesse intervalo, vale f x < 1 2 m x . [Sugestão: Tome ε = 1 2 m e aplique a Definição 1.4 . 1 a 5 com x 0 = 0 .]
  2. Conclua, usando a parte (a) e a desigualdade triangular, que existe um intervalo aberto contendo 0 , tal que f x < f x - m x com qualquer x nesse intervalo.
  3. Explique por que o resultado obtido em (b) pode ser interpretado como significando que a reta tangente ao gráfico de f na srcem é a melhor aproximação linear de f naquele ponto.

Passo 1

  1. Vamos fazer ε = 1 2 m como sugerido, e como no enunciado nos fala que m ≠ 0 temos que ε > 0 .

    2. Também nos é dito no enunciado que f 0 = f ' 0 = 0 , assim sabemos que existe δ > 0 tal que:

    f 0 + h - f 0 h < ε

    onde quer que seja 0 < h < δ .

    Vamos substituir os valores em:

    f 0 + h - f 0 h < ε → f h - 0 h < 1 2 m → f h < 1 2 h m → f h < 1 2 h m

    Assim então f h < 1 2 h m para 0 < h < δ .

    Então é só substituir h por x e obtemos o resultado que queremos:

    f x < 1 2 m x para 0 < x < δ

    Passo 2

  2. Da letra (a) temos que para 0 < x < δ , f x < 1 2 m x .

    3. Podemos então fazer que:

    m x = m x - f x + f x

    Vamos agora aplicar a Desigualdade Triangular a + b ≤ a + b :

    m x - f x + f x ≤ f x - m x + f x

    Pronto, agora vamos manipular um pouco essa expressão:

    m x - f x + f x ≤ f x - m x + f x

    f x - m x ≥ m x - f x

    f x - m x > 1 2 m x > f x

    f x - m x > f x

    Pronto, concluímos o que queríamos!

    Passo 3

  3. Vamos pegar qualquer linha reta da forma y = m x + b , que deve aproximar a curva y = f x para valores pequenos de x , então b = 0 desde que f 0 = 0 .

E a desigualdade f x - m x > f x também pode ser interpretada como:

f x - m x > f x - 0

Ou seja, a reta y = 0 é uma aproximação melhor do que y = m x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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