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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 16

Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

∫ 1 / 2 3 / 2 - 2 x + 4   d x

Passo 1

A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = 1 2

b = 3 2

Passo 3

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de um trapézio retangular.

Passo 4

A área de um trapézio é:

A = B a s e m a i o r + B a s e m e n o r ⋅ h 2

A altura do nosso trapézio é o comprimento do intervalo de integração. Isto é:

h = 3 2 - 1 2 = 1

Já as bases maior e menor é a interseção de f x = - 2 x + 4 com as retas x = 1 / 2   e x = 3 / 2 , respectivamente. Portanto, obtemos os seguintes valores:

B a s e m a i o r = - 2 ⋅ 1 2 + 4 = 3

B a s e m e n o r = - 2 ⋅ 3 2 + 4 = 1

Calculando a área, temos:

A = 3 + 1 ⋅ 1 2 = 2

Logo,

∫ 1 / 2 3 / 2 - 2 x + 4   d x = 2

Resposta

∫ 1 / 2 3 / 2 - 2 x + 4   d x = 2

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