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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 21

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = -3x +2 , pelo eixo x e pelas retas x = -5 e x = -1

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [-1 ,-5 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - 3 x i + 2 ) ∆ x i =   ∫ - 5 - 1 - 3 x + 2 d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ - 5 - 1 - 3 x + 2 d x =   ( - 3 2 x 2 + 2 x ) - 5 - 1  

= ( - 3 2 - 2 )   –   ( - 3 2 - 5 2 - 2 .   5 )

=   44

Resposta

∫ - 5 - 1 - 3 x + 2 d x = 44

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