Coeficientes angulares de senoides

  1. Determine as equações para as tangentes às curvas y = sen(2x) e y = -sen(x/2) na origem. Existe algum aspecto diferente no modo como essas tangentes estão relacionadas? Justifique a sua resposta.
  2. O que se pode dizer sobre as tangentes às curvas y = sen(mx) e y = -sen(x/m) na origem (m é uma constante 0 ≠ 0 )? Justifique sua resposta.
  3. Para dado m , quais são os maiores valores de coeficiente angular que as curvas y = sen(mx) e y = -sen(x/m) podem ter? Justifique sua resposta.
  4. A função y = sen(x) completa um período no intervalo [0, 2 * pi] , a função y = sen(2x) , dois períodos, a função y = sen(x / 2) , meio período, e assim por diante. Existe alguma relação entre o número de período que y = sen(mx) completa em [0, 2*pi] e o coeficiente angular da curva y = sen(mx) na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para podermos resolver esta questão, precisamos relembrar a equação de uma reta. Desta forma, uma reta é dada pela seguinte equação:

y - y 0 = m x - x 0

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. No caso da origem, o ponto é O = ( 0,0 ) . O que nos falta determinar é esse m . O que ele é?

O número m é chamado de coeficiente angular da reta. E ele é calculado através da derivada da nossa função! Revisado estes conceitos, vamos a nossa questão.

Passo 2

Utilizando os resultados das outras letras, descobrimos que o coeficiente angular da curva y = sen ⁡ m x na origem é y ' = m . Desta forma, temos que o coeficiente angular da curva na origem é exatamente a quantidade de períodos que a função possui no intervalo 0,2 π .

Resposta

O coeficiente angular na origem é a quantidade de períodos da função no intervalo 0,2 π .

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