Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 49

Esboce o gráfico de , para as funções abaixo:

Passo 1

Para fazer uma gráfico de precisamos saber que funções são essas, certo? Para, depois, achar a composição delas.

Para achar que funções são essas, vamos ter que ver com que estilo de função elas se parecem a partir do gráfico que foi dado:

Vamos tentar achar a equação de primeiro. Olhando para o gráfico de , vemos que ela se parece muito com uma parábola, pois tem apenas uma curva bem definida ali, um ponto que poderia ser o vértice e outros dois e que seriam as raízes. Sendo assim, ela vai ter essa cara:

Que é a cara clássica de uma parábola, ok? Vamos pegar esses 3 pontos citados anteriormente, jogar tudo nessa equação para e achar os valores de , e , show? Vamos lá!

Primeiro, substituindo o ponto de :

Daqui, tiramos que:

Substituindo :

Substituindo nas duas, temos o seguinte sistema para resolver:

Somando as duas equações:

Substituindo na primeira equação:

Isolando :

Com isso:

Vamos plotar esse gráfico para ver se bate com o da imagem:

Deu certinho!

Passo 2

Agora, vamos tentar achar :

Olhando, de novo, para a imagem, vemos que tem um comportamento diferente do de . Ela tem duas concavidades ali, uma com o vértice em e outra em . Cara, quando temos algo desse tipo, podemos pensar em uma função com um grau a mais que a parábola, ou seja, uma função do terceiro grau:

Onde temos uma raiz em e um ponto :

Beleza, vamos trabalhar em cima dos 4 pontos que vimos.

Substituindo :

Daqui, tiramos que:

Substituindo :

Arrumando e substituindo :

Substituindo

Arrumando e substituindo :

Então, temos 2 equações:

Se a gente soma as duas equações:

Vamos substituir esse valor nas outras equações:

Temos um problema, se somarmos essas equações, chegamos a:

Calma, temos mais um ponto! Substituindo :

Arrumando e substituindo os valores que temos:

Juntando à outra equação:

Vamos multiplicar a primeira por 3:

Somando as duas:

Simplificando por 1,5:

Substituindo o valor na primeira equação:

Fazendo o mmc, que é 80:

Simplificando por 5:

Dessa forma:

Olha só as duas funções:

Pôoo, vai me dizer que não ficou igual à imagem do enunciado? Muito bom!

Passo 3

Agora, vamos fazer a composição , substituindo de por :

Então:

Olha, isso vai dar uma função do sexto grau... Relaxa que é completamente normal não saber esboçar essa curva, tá? Até porque é beeemmm difícil pedirem isso em algum lugar. A não ser que você já tenha visto alguma coisa de cálculo, como limite e derivada. Mas, até essa parte do livro, ninguém viu isso ainda. Então, vamos nos poupar de contas e usar um recurso gráfico, ok?