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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.1 - Ex. 8

Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se quer integrar com relação a x ou y . Desenhe um retângulo aproximado típico e identifique sua altura e largura. Então, encontre a área da região.

y = x 2 - 4 x ,     y = 2 x

Passo 1

Primeiramente vamos esboçar a região delimitada pelas curvas plotando-as em um mesmo gráfico. Assim, obteremos

Resta-nos saber onde é que essas curvas vão se interceptar e para isso vamos igualar suas equações fazendo

x 2 - 4 x = 2 x → x 2 - 6 x = 0 → x = 0   e   x = 6

Passo 2

Agora, para encontrarmos a área da região delimitada pelas curvas precisamos calcular a integral da função que está por cima menos a função que está por baixo e os limites de integração serão dados pelos valores de x do intercepto das curvas. Então, teremos

∫ 0 6 2 x - x 2 - 4 x d x = ∫ 0 6 6 x - x 2 d x = 6 x 2 2 - x 3 3 0 6 = 3 x 2 - x 3 3 0 6 = 3 ⋅ 36 - 216 3 = 36

Resposta

36

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Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = x 3 - xey = 0
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = cos ⁡ xey = - cos ⁡ x ,x ∈ - π 2 , 3 π 2
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x = y 3ex = y