Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.13 - Ex. 10

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Percebam que temos duas regiões limitadas por ambas às curvas. Para a região de , a curva está abaixo da reta . Já no caso da região , temos o contrário. Portanto, precisamos levar este fato em consideração na hora de montarmos a nossa integral. Desta forma, temos:

Podemos ir mais além. Como ambas as regiões são iguais (simetria da curva ), podemos transformar as nossas integrais em apenas 1. Basta fazermos:

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

Portanto, a área da nossa região é:

Resposta

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A área da região que está à direita do eixo y e à esquerda da parábola x = 2 y - y 2 (a região sombreada na figura) é dada pela integral ∫ 0 2 2 y - y 2d y . (Gire sua cabeça no sentido horário e imag

Use um gráfico para estimar a intersecção com o eixo x da curva y = x + x 2 - x 4 . A seguir, use essa informação para estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x .

Use um gráfico para estimar a intersecção com o eixo x da curva y = 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 . A seguir, use essa informação para estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x .

As fronteiras da região sombreada são o eixo y , a reta y = 1 e a curva y = x 4 . Ache a área dessa região escrevendo x como uma função de y e integrando em relação a y (como no Exercício 49 ).

Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval