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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.13 - Ex. 11

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = ln ⁡ x ,   y = 0   e   x = 4

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Como esta região é limitada acima e abaixo por uma curva, a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ 1 4 ln ⁡ x - 0 d x

A = ∫ 1 4 ln ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 1 4 ln ⁡ x d x

Para resolvermos esta integral, precisamos utilizar a técnica de integração por partes. Para isto, vamos fazer u = ln ⁡ x e d v = d x . Consequentemente, temos d u = d x / x e v = x . Portanto, relembrando que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos:

∫ ln ⁡ x = x ln ⁡ x - ∫ d x = x ln ⁡ x - x + c

Voltando a nossa integral definida, temos:

∫ 1 4 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x 1 4

4 ln ⁡ 4 - 4 - 1 ln ⁡ 1 - 1

8 ln ⁡ 2 - 4 + 1

8 ln ⁡ 2 - 3

Portanto, a área da nossa região é:

A = 8 ln ⁡ 2 - 3 u . a .

Resposta

A = 8 ln ⁡ 2 - 3 u . a .

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