Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 1

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = < 2 sin t , 5 t , 2 cos t > - 10 <= t <= 10

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = < x (t) , y (t) , z (t) >

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = < 2 s e n (t) , 5 t , 2 cos (t) >],[- 10 <= t <= 10]])

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = int_(- 10)^(10) sqrt(((d)/(d t) 2 s e n (t))^2 + ((d)/(d t) 5 t)^2 + ((d)/(d t) 2 cos (t))^2) d t

L = int_(- 10)^(10) sqrt((2 cos (t))^2 + (5)^2 + (- 2 s e n (t))^2) d t

L = int_(- 10)^(10) sqrt(4 cos^2 ( t ) + 25 + 4 s e n^2 ( t )) d t

Lembrando que s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1 :

L = int_(- 10)^(10) sqrt(4 + 25) d t

L = [t sqrt(29)]_(- 10)^(10)

L = 10 sqrt(29) - (- 10 sqrt(29)) -> L = 20 sqrt(29)

Resposta

L = 20 sqrt(29)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escrever uma função vetorial em duas dimensões que define um campo vetorial, cuja intensidade seja igual a 1.
Seja D um sólido esférico de raio r. A temperatura em cada um de seus pontos é proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera.Usando coordenadas cartesianas, determinar a função que defi
Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo cuja base tem dimensões 1m e 2m e cuja altura é 1,5m. O tanque está cheio de uma substância com densidade variável. Em cada ponto, a densidade é pr
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais.4) f → x , y = 2 i →
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais.5) f → x , y = 2 i → + j