Determine a derivada da função vetorial.

r(t) = sen^(-1)(t) * i + raiz(1 - t^2) * j + k

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t i + y ' t j + z ' t k

Isso é, deveremos derivar cada termo individualmente.

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = s e n - 1 t i - 1 - t 2   j + k

Lembrando que a função s e n - 1 ( t ) não é seno elevado a - 1 . É a função a r c s e n , que em inglês é chamada de s e n - 1 . E sua derivada é:

d d t s e n - 1 t = 1 1 - t 2

Essa derivada é tabelada.

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x g ' ( x )

A gente a utiliza quando precisamos derivar uma função composta, que é o caso de 1 - t 2 .

Então:

r ' t = d s e n - 1 ( t ) d t i + d 1 - t 2 d t j + d 1 d t k

r t = d s e n - 1 t d t i + d d u u ⋅ d d t 1 - t 2 j + d 1 d t k

Sendo u = 1 - t 2

r ' t = 1 1 - t 2 i - 2 t 2 1 - t 2 j + 0 k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j + 0 k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j

Resposta

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j

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