Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r(t) = < 2 * cos(t), 3 * t, 2 * sin(t) >

Passo 1

Olá, vamos resolver mais uma atividade?

Temos aqui meu querido aluno, a equação da posição de uma partícula:

r t = < 2 cos ⁡ t ,   3 t ,   2 sin ⁡ t >

E precisamos encontrar a equação da velocidade, da aceleração e da velocidade escalar.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = < 2 cos ⁡ t , 3 t , 2 s e n ( t ) >

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t 2 cos ⁡ t   , d d t 3 t , d d t 2 s e n ( t ) >

v t = < - 2 s e n t , 3 ,   2 c o s ⁡ ( t ) >

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = x t 2 + y t 2 + z t 2

v t = - 2 s e n t 2 + 3 2 + 2 cos ⁡ t 2

Vamos utilizar então da identidade trigonométrica fundamental:

v t = 9 + 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

v t = 13

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d 2 r d t 2

a t = d v d t

a t = d d t - 2 s e n t , d d t ( 3 ) , d d t 2 cos ⁡ t >

Realizando as derivadas:

a t = < - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 s e n ( t ) >

Resposta

v t = < - 2 s e n t , 3 ,   2 c o s ⁡ ( t ) >

v t = 13

a t = < - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 s e n ( t ) >

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