Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

r t = < sin ⁡ t ,   3 , cos ⁡ t >

Passo 1

Fala galera. Tudo belezinha?

Vamos começar a resolver a questão!

Primeiro de tudo iremos analisar o enunciado e separar os dados importante eles nos ajudarão a encontrar o nosso objetivo, que é o Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t = < s e n ( t ) , 3 , c o s ⁡ ( t ) >

Pois então, mão na massa!

Passo 2

A direção na qual o parâmetro t cresce ao longo da curva definida por r ( t ) = ( s i n t , 3 , c o s t ) , podemos usar o conceito de derivadas e vetor tangente à curva.

Vou te mostrar como se faz!

Primeiro, calcule a derivada da função vetorial r ( t ) = ( s i n t , 3 , c o s t ) em relação a t . A derivada r ' ( t ) nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto.

r ' ( t ) = d d t ( s e n ⁡ t , 3 , cos ⁡ t ) = ( cos ⁡ t , 0 , - s e n ⁡ t )

Portanto, r ' ( t ) = ( c o s ⁡ t , 0 , - s e n ⁡ t )

Passo 3

A partir da análise do vetor tangente r ' ( t ) = ( c o s t , 0 , - s i n t ) , observamos que o componente 𝑥 (representado por c o s t ) é sempre positivo ao longo da curva para t no intervalo [ 0,2 π ] .

Portanto, a direção na qual o parâmetro t cresce ao longo da curva é na direção positiva do eixo x , ou seja, da esquerda para a direita quando olhamos na direção do eixo x .

Passo 4

Para observar a direção em que o parâmetro cresce, vamos aplicar alguns valores em t :

Em t = 0 :

x = s e n 0 = 0 ,     z = cos ⁡ 0 = 1

Em t = π 2 :

x = s e n π 2 = 0 ,     z = cos ⁡ π 2 = 0

Ou seja, o gráfico vai ao sentido da direção 0,3 , 1 → ( 1,3 , 0 )

Passo 5

Como no eixo y temos uma constante igual a 3 , isso quer dizer que o gráfico é deslocado no sentido do eixo y em y = 3 .

Assim, a forma do gráfico é:

Resposta

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