Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r(t) = < t^2 - 1, t >; t = 1

Passo 1

Olá, meu esforçado e inteligente aluno. Vamos resolver juntos mais uma atividade hoje.

Dada a equação da posição:

r t = < t 2 - 1 , t > ;

Vamos encontrar as equações da velocidade, aceleração e a velocidade escalar dessa partícula.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Então o que deveremos fazer aqui é utilizar essas relações que citamos acima.

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = t 2 - 1 , t t = 1

O vetor posição em t = 1 é:

r 1 = 0,1

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t t 2 - 1 , d d t t

v t = 2 t , 1

Em t = 1 :

v 1 = 2,1

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 2 2 + 1 2

v t = 5

O vetor aceleração da partícula é:

a t = v ' t =   2,0

Em t = 1 :

a 1 =   2,0

Passo 3

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t 2 - 1 ,     ( 1 ) y = t ,     ( 2 )

Aplicando ( 2 ) em ( 1 ) :

x = y 2 - 1

y 2 = x + 1

Que é uma parábola. Seu gráfico é:

Veja então que em v 1 = 2,1 temos um vetor de duas unidades positivas em x e uma unidade positiva em y . Já em a 1 = 2,0 temos apenas duas unidades positivas em x .

Resposta

v t = < 2 t , 1 >

v t = 5

a t = v ' t =   < 2,0 >

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