Determine o comprimento da curva dada.

r t = t 3 , 6 t ⁡ , 3 t 2   ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo? Preparados para resolver essa questão?

Nosso objetivo principal é calcular o comprimento de uma curva paramétrica definida no espaço tridimensional. E para isso temos que seguir alguns passos.

  1. Utilizar a equação a fórmula da integral de linhas para calcular o comprimento da curva.
  2. L = ∫ t 1 t 2 r ' t

  3. Calcular as derivadas das componentes da função vetorial em relação ao parâmetro t , ou seja, d x d t , d y d t e d z d t .
  4. Substituir as derivadas na fórmula do comprimento e resolver a integral com o limite de integração já fornecido pelo enunciado ( 0 ≤ t ≤ 3 ) .

Certinho neh? Agora só resolver!

Passo 2

Temos que r t = t 3 , 6 t ⁡ , 3 t 2 , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.

d d t t 3 , d d t ( 6 t ) , ⁡ d d t 3 t 2

Então, temos que:

r ' t = 3 t 2 , 6 ,   6 t

Passo 3

Feito essa passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos lá!

r ' t = 3 t 2 2 + 6 2 + 6 t 2

r ' t = 9 t 4 + 36 t 2 + 36

r ' ( t ) = 9 t 4 + 4 t 2 + 4

Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever 4 + 4 t 2 + t 4 = t 2 + 2 2

Isso nos da que:

r ' t = 9 t 4 + 4 t 2 + 4

r ' t = 9 t 2 + 2 2

r ' ( t ) = 3 2 + t 2

Como t 2 ≥ 0 para t real,

r ' t = 3 2 + t 2

Passo 4

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalo é:

0 ≤ t ≤ 3

E que encontramos

r ' ( t ) = 3 2 + t 2

Assim,

3 ∫ 0 3 2 + t 2 d t = 3 2 t + 1 3 t 3 0 3

= 3 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 3 3 - 2 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 0 3

= 45

Resposta

45

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