Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Fala pessoal, tudo tranquilo? Preparados para resolver essa questão?
Nosso objetivo principal é calcular o comprimento de uma curva paramétrica definida no espaço tridimensional. E para isso temos que seguir alguns passos.
- Utilizar a equação a fórmula da integral de linhas para calcular o comprimento da curva.
- Calcular as derivadas das componentes da função vetorial em relação ao parâmetro , ou seja, , e.
- Substituir as derivadas na fórmula do comprimento e resolver a integral com o limite de integração já fornecido pelo enunciado .
Certinho neh? Agora só resolver!
Passo 2
Temos que e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.
Então, temos que:
Passo 3
Feito essa passo, precisamos agora calcular . Então vamos lá!
Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever
Isso nos da que:
Como para real,
Passo 4
Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:
Note que nosso intervalo é:
E que encontramos
Assim,