Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 2
Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Fala pessoal, tudo tranquilo? Preparados para resolver essa questão?
Nosso objetivo principal é calcular o comprimento de uma curva paramétrica definida no espaço tridimensional. E para isso temos que seguir alguns passos.
- Utilizar a equação a fórmula da integral de linhas para calcular o comprimento da curva.
- Calcular as derivadas das componentes da função vetorial em relação ao parâmetro , ou seja, , e.
- Substituir as derivadas na fórmula do comprimento e resolver a integral com o limite de integração já fornecido pelo enunciado .
Certinho neh? Agora só resolver!
Passo 2
Temos que e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.
Então, temos que:
Passo 3
Feito essa passo, precisamos agora calcular . Então vamos lá!
Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever
Isso nos da que:
Como para real,
Passo 4
Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:
Note que nosso intervalo é:
E que encontramos
Assim,
Resposta
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Determine o comprimento da curva dada. r t =i + t 2 j + t 3 k 0 ≤ t ≤ 1
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =sin t ,3 , cos t
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