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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 5

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores númericos dos coeficientes.

5 .           a     x 4 x 4 - 1                       b     t 4 + t 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 4 2

Passo 1

a       x 4 x 4 - 1

Aqui devemos observar que o grau do numerador é igual ao do denominador, diante disso, podemos fazer o seguinte:

x 4 x 4 - 1 = x 4 - 1 + 1 x 4 - 1 = x 4 - 1 x 4 - 1 + 1 x 4 - 1 = 1 + 1 x 4 - 1

Agora basta fatorar x 4 - 1 = x 2 2 - 1 = x 2 - 1 x 2 + 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) .

x 4 x 4 - 1 = 1 + 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Aqui nós temos uma função racional com fatores 2 lineares distintos e 1 fator irredutível de grau 2. Ficamos com:

x 4 x 4 - 1 = 1 + A x - 1 + B x + 1 + C x + D x 2 + 1

Passo 2

b     t 4 + t 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 4 2

Aqui devemos perceber que temos um fator 1 fator irredutível de grau 2 distinto e 2 fatores irrdutíveis de grau 2 iguais. Dessa forma,

t 4 + t 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 4 2 = A t + B t 2 + 1 + C t + D t 2 + 4 + E t + F t 2 + 4 2

Resposta

  1. 1 + A x - 1 + B x + 1 + C x + D x 2 + 1
  2. A t + B t 2 + 1 + C t + D t 2 + 4 + E t + F t 2 + 4 2
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v = ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 )