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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 20

Use a Regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora.

y = x 3 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

A gente tem y = x 3 ,   0 ≤ y ≤ 1 , então já sabemos que esses serão os limites da integral ( 0 e 1 ). Agora fazemos a derivada de y :

y ' = 3 x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Assim, a integral é

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + 3 x 2 2 d x

O próximo passo faremos por meio da seguinte substituição:

u = 3 x 2 ,   d u = 6 x   d x

Passo 3

Portanto,

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + 3 x 2 2 d x = 2 π ∫ 0 3 1 + u 2 1 6 d u = π 3 ∫ 0 3 1 + u 2 d u  

Agora pelo Teorema 21 ou por um sistema de computação algébrica, temos que

π 3 1 2 u 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 0 3 = π 3 3 2 10 + 1 2 ln ⁡ 3 + 10 =

π 6 [ 3 10 + ln ⁡ ( 3 + 10 ) ]  

Resposta

π 6 [ 3 10 + ln ⁡ ( 3 + 10 ) ]   .

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Se a região R { ( x , y ) | x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } é girada em torno do eixo x , o volume do sólido resultante é finito. Mostre que a área da superfície é infinita.