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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Calcule a integral.

int_3^4 (x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral! Temos:

int_3^4 (x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) d x

Pra calcular ela a gente vai simplificar a função pra reescrever a integral de uma forma que seja mais fácil calcula-la!

Podemos começar separando assim:

(x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) = (x^3 - 2 x^2)/(x^3 + 2 x^2) - (4)/(x^3 + 2 x^2)

Isolando x^2 :

(x^2 ( x - 2 ))/(x^2 ( x + 2 )) - (4)/(x^2 ( x + 2 )) = (x - 2)/(x + 2) - (4)/(x^3 + 2 x^2)

Passo 2

Agora vamos fazer frações parciais nesse carinha aqu:

(4)/(x^2 (x + 2))

Podemos escrever:

(4)/(x^2 (x + 2)) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x + 2)

Multiplicando tudo por x^2 (x + 2) :

4 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2

4 = A x^2 + 2 A x + B x + 2 B + C x^2

Juntando em potências de x :

0 x^2 + 0 x + 4 = (A + C) x^2 + (2 A + B) x + 2 B

Ficamos então com o seguinte sisteminha:

{[[A + C = 0 -> A = C],[2 A + B = 0],[2 B = 4 -> B = 2]])

Resolvendo:

2 A + 2 = 0

A = - 1

C = 1

Então:

(4)/(x^2 (x + 2)) = (- 1)/(x) + (2)/(x^2) + (1)/(x + 2)

E então a nossa expressão original fica:

(x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) = (x - 2)/(x + 2) - ((- 1)/(x) + (2)/(x^2) + (1)/(x + 2))

Juntando os termos que têm x + 2 no denominador:

(x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) = (x - 3)/(x + 2) + (1)/(x) - (2)/(x^2)

Passo 3

Agora temos 3 integraizinhas pra resolver:

int_3^4 (x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) d x = int_3^4 (x - 3)/(x + 2) d x + int_3^4 (1)/(x) d x - 2 int_3^4 (1)/(x^2) d x

Vambora, então!

A primeira vamos resolver por substituição: u = x + 2 -> d u = d x e os limites de integração passam a ser u = 3 + 2 = 5 para x = 3 e u = 4 + 2 = 6 para x = 4 . É importante também notar que x = u - 2 o que faz com que o nosso numerador seja x - 3 = u - 5 . Assim

int_3^4 (x - 3)/(x + 2) = int_5^6 (u - 5)/(u) d u = int_5^6 1 - (5)/(u) d u = (u - 5 ln u)_5^6

int_3^4 (x - 3)/(x + 2) = (6 - 5 ln 6) - (5 - 5 ln 5) = 1 - 5 (ln 6 - ln 5)

int_3^4 (x - 3)/(x + 2) = 1 - 5 ln ((6)/(5))

Agora vamos olhar a segunda integral! Essa aqui é mais direta :

int_3^4 (1)/(x) d x = ln x (​|_3^4 = ln 4 - ln 3 = ln ((4)/(3))

E finalmente a última! Pra essa vamos usar que int x^n = x^(n + 1) // ( n + 1 ) :

- 2 int_3^4 (1)/(x^2) d x = - 2 int_3^4 x^(- 2) d x = - 2 (- x^(- 1))_3^4

= 2 (x^(- 1))_3^4 = 2 ((1)/(4) - (1)/(3)) = 2 ((3 - 4))/(12) = - (1)/(6)

Agora podemos juntar tudo!

int_3^4 (x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) d x = 1 - 5 ln ((6)/(5)) + ln ((4)/(3)) - (1)/(6)

Resposta

int_3^4 (x^3 - 2 x^2 - 4)/(x^3 + 2 x^2) d x = 1 - 5 ln ((6)/(5)) + ln ((4)/(3)) - (1)/(6)

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