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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 40

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t + t ,   y = t - t ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Tudo bem?! Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Dada a curva parametrizada:

x = t + t ,   y = t - t ,   0 ≤ t ≤ 1

Deveremos escrever uma integral que represente o comprimento da curva. A integral para calcular o comprimento de uma curva é dada por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

O intervalo de integração é o intervalo de t . Não devemos resolver essa integral na mão, e sim utilizar de uma calculadora.

Passo 2

Vamos derivar t + t :

x = t + t

x = t + t 1 2

d x d t = 1 + 1 2 t

E agora, derivar y = t - t :

y = t - t

y = t - t 1 2

d y d t = 1 - 1 2 t

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 1 2 t 2 + 1 - 1 2 t 2

Realizando o produto notável em ambas:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 1 t + 1 4 t + 1 - 1 t + 1 4 t

Realizando as simplificações:

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 + 1 2 t

Passo 3

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 , temos que:

L = ∫ 0 1 2 + 1 2 t d t = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 2 + 1 2 t d t ≈ 2,0915

Resposta

≈ 2,0915

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