Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais.

r = 1 + cos(θ/3)

Passo 1

Oiii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão de uma curva (dada em coordenadas polares):

r = 1 + cos ⁡ θ / 3

Queremos calcular o comprimento de um laço dessa curva com precisão de 4 casas decimais.

E, para isso, o enunciado nos pede para usarmos uma calculadora ou um software matemático.

Espera um pouco... Como assim laço??

Bom... se a gente plotar nossa curva, obteremos a seguinte figura:

Assim, queremos calcular o comprimento de um arco.

Para isso, o comprimento L é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2

Agora podemos aplicar!!! 😉

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de r .

Sabemos que:

r = 1 + cos ⁡ θ / 3

Derivando, temos:

d r d θ = d d θ 1 + d d θ cos ⁡ θ / 3

Sabemos que a derivada de uma constante é zero, portanto:

d r d θ = d d θ cos ⁡ θ 3

Sabemos que a derivada do cosseno é o seno. Assim, pela Regra da Cadeia, temos:

d r d θ = 1 3 ⋅ sen ⁡ θ 3

Passo 3

Desta forma, como r = 1 + cos ⁡ θ / 3 e geramos essa figura para 0 ≤ θ ≤ 6 π :

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 ∴

L = ∫ 0 6 π 1 + cos ⁡ θ 3 2 + sen ⁡ θ 3 3 2

Resolvendo com o auxílio de uma calculadora, teremos:

L = 19 , 6676

Resposta

L = 19,6676

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