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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.5 - Ex. 57

Use a Regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento da elipse x 2 + 4 y 2 = 4 .

Passo 1

Oiii, tudo bem??

Queremos estimar o comprimento da elipse x 2 + 4 y 2 = 4 .

Para isso, devemos primeiro colocar a equação no formato padrão da elipse e, em seguida, calcular o comprimento L utilizando a seguinte expressão:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Onde essas derivadas serão realizadas a partir de uma parametrização que a gente deve fazer.

Para resolver essa integral, a gente vai precisar utilizar a Regra de Simpson, onde:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde:

  • n é o número total de pontos (deve ser um número par);
  • h é o espaçamento entre os pontos, dado por h = b - a n ​ ;
  • x 0 ​ é a (o limite inferior da integral);
  • x n ​ é b (o limite superior da integral).

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos dividir a equação dada por 4 para deixar na forma padrão:

x 2 4 + y 2 1 = 1

E vamos parametrizar essa curva da seguinte forma:

x = 2 cos ⁡ t   ,         y = s e n   t ,       0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, podemos usar a fórmula para comprimento de curva:

L = 4 ∫ 0 π / 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Obs: aqui a gente substituiu o intervalo por 2 π 4 , mas multiplicamos por 4 para compensar e tornar o cálculo mais simples!

Ah... vamos calcular as derivadas logo:

d x d t = - 2   s e n   t

d y d t = cos ⁡ t

Agora bora lá!!

Passo 3

Prosseguindo com a nossa continha, temos:

L = 4 ∫ 0 π / 2 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

L = 4 ∫ 0 π / 2 3 s e n 2 t + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

L = 4 ∫ 0 π / 2 3 s e n 2 t + 1 d t

Passo 4

Usando a Regra de Simpson com n = 10 , temos que:

h = π 2 - 0 10 = π 20

E f t = 3 s e n 2 t + 1 , ficamos com

L ≈ 4 3 π 20 f 0 + 4 f π 20 + 2 f π 20 + … + 2 f 8 π 20 + 4 f 9 π 20 + f π 2

L ≈ 9,69

Resposta

L ≈ 9,6 9

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