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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 56

Uma curva chamada espiral de Cornu é definida pelas equações paramétricas

x = C t = ∫ 0 t cos ⁡ π u 2 / 2 d u

y = S t = ∫ 0 t sen ⁡ π u 2 / 2 d u

onde C e S são as funções de Fresnel que foram introduzidas no Capítulo 5.

(a)Trace essa curva. O que acontece quando t → ∞ e t → - ∞ ?

(b) Calcule o comprimento da espiral de Cornu a partir da origem até o ponto com o valor do parâmetro t .

Passo 1

Falai galerinha. De boa? Vamos traçar uma curva parametrizada e calcular o comprimento dessa curva. Vamos entender um pouco como faremos isso? Se liga!

Para resolver o problema

  1. Na letra A vamos traçar a curva epitrocoide no plano cartesiano utilizando a parametrização dada, é claro que vamos utilizar um software e identificar o intervalo da curva completa.
  2. Na letra B, iremos utilizar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:

    3. L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t .

  3. Calculamos as derivadas d x d t ​ e d y d t ​, substituindo na fórmula e simplificamos a expressão resultante, obtendo o comprimento aproximado.

Agora é só resolver, Bora!

Passo 2

Vamos esboçar agora o gráfico dessa curva parametrizada.

Analisando o gráfico, percebemos que:

t → ∞ ∴ x → 1 2 y → 1 2   ,   t → - ∞ ∴ x → - 1 2 y → - 1 2  

Passo 3

Para calcular o comprimento da espiral de Cornu até o ponto com o valor do parâmetro t , podemos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica. Seja s ( t ) o comprimento da curva até o ponto t , então:

L = ∫ 0 t d x d t 2 + d y d t 2

Onde d x d t e d y d t são derivadas das funções x ( t ) e y ( t ) , respectivamente.

d x d t = d d t ∫ 0 t cos ⁡ π u 2 2 d u = cos ⁡ π t 2 2

d y d t = d d t ∫ 0 t s en ⁡ π u 2 2 d u = sen ⁡ π t 2 2

Passo 4

Então o comprimento da espiral de Cornu até o ponto t é:

L = ∫ 0 t cos ⁡ π t 2 2 2 + s en ⁡ π t 2 2 2 d u

Pela indentidade trigonométrica, temos que c o s 2 x + s e n 2 x = 1

L = ∫ 0 t 1 d u

L = ∫ 0 t 1 d u = ∫ 0 t 1 d u

L = t - 0 = t

Portanto, o comprimento da espiral de Cornu até o ponto t é igual ao próprio valor de t .

Resposta

(a) t → ∞ ∴ x → 1 2 y → 1 2 e t → - ∞ ∴ x → - 1 2 y → - 1 2

(b) L = ∫ 0 t d x d t 2 + d y d t 2 = t

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