Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 6f
Escrever uma equação vetorial para superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados:
Passo 1
Olá amiguinhos, primeiro passo que nos é pedido é determinar a equação vetorial da superfície. Podemos resolver esse passo fazendo a parametrização da nossa função e escrevendo que é nosso . Veremos melhor no Passo 2.
Agora se temos o nosso vetor que determina a posição de cada ponto em nossa superfície, então fazendo temos o vetor tangente na direção e consequentemente o vetor tangente na direção . Logo esses dois vetores são os vetores que determinam nosso plano tangente, onde para formar um plano, precisamos sempre de um ponto e dois vetores linearmente independente.
Para determinamos a reta normal, precisamos apenas de um ponto e um vetor. O ponto já nos é dado, mas o vetor, , podemos determinar fazendo a seguinte relação
Passo 2
Vamos começar lembrando a parametrização do nosso cilindro. Vamos fazer
Com , ,
Então
Pronto terminamos o primeiro passo xD.
Passo 3
Agora queremos calcular o plano tangente, então primeiro
e
Neste ponto o livro pode mostrar formar e formas para resolver nosso problema, mas uma forma simples será escrevemos a equação geral do plano para os pontos dados da seguinte forma
Assim temos para e implicando nos vetores e
Que nos da
Para e implicando nos vetores e
Que nos da
Passo 4
Por fim queremos a reta tangente, então fazemos
Assim para o ponto Teremos
E no ponto
Resposta
As respostas seguem no decorrer do processo, já que não temos respostas “diretas” em si.