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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 36

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = r → r → 2 , onde r → = ( x , y ) . Determinar a circulação do fluido ao redor da curva fechada formada pelos segmentos A B - e B C - , A 2,0 , B 0,1 e C - 2,0 e a semircunferência y = - 4 - x 2

Passo 1

Precisamos inicialmente parametrizar nossas curvas afim de aplicar na equação abaixo

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Onde teremos que

∫ C v → r → t ⋅ d r → t = ∫ C 1 v → r 1 → t ⋅ d r 1 → t + ∫ C 2 v → r 2 → t ⋅ d r 2 → t + ∫ C 3 v → r 3 → t ⋅ d r 3 → t

Outra coisa que vamos ver é como v → foi definido

v → x , y = r → r → 2 = ( x , y ) x 2 + y 2

Passo 2

Vamos parametrizar as curvas primeiro.

Para C 1

2,0 → ( 0,1 )

r → 1 t = 2 - 2 t , t ,   t ∈ [ 0,1 ]

Onde

r → 1 2 = 2 - 2 t 2 + t 2 = 5 t 2 - 8 t + 4

e

d r → 1 = ( - 2 d t , d t )

Para C 2

0,1 → ( - 2,0 )

r → 2 t = - 2 t , 1 - t ,   t ∈ 0,1

Onde

r → 1 2 = - 2 t 2 + 1 - t 2 = 5 t 2 - 2 t + 1

e

d r → 2 = ( - 2 d t , - d t )

Para a curva 3, temos que podemos parametrizar nossa semicircunferência de raio 2

x = 2 cos ⁡ t

y = 2   s e n   t

r → 3 2 = 2 cos ⁡ t 2 + 2   s e n   t 2 2 = 4

Com t variando de 3 π 2 a π 2

Passo 3

Agora para não ficar confuso, vamos escrever nossos v → i

v → r → 1 t ⋅ d r → 1 = 2 - 2 t , t 5 t 2 - 8 t + 4 ⋅ - 2 d t , d t = 5 t - 4 5 t 2 - 8 t + 4

v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = - 2 t , 1 - t 3 t 2 - 2 t + 1 ⋅ - 2 d t , - d t = 5 t - 1 5 t 2 - 2 t + 1

v → r → 3 t ⋅ d r → 3 = 2 cos ⁡ t , 2   s e n   t 3 t 2 - 2 t + 1 ⋅ - 2   s e n   t , 2 cos ⁡ t = 0

Passo 4

Ante de irmos para o próximo passo, deixo eu lembrá-lo de uma coisinha, ou ensiná-lo.

Sempre que tivermos

∫ α f ' x f x d x = ln ⁡ f x

Agora podemos olhar para nossas funções e ver o seguinte

5 t - 4 = 1 2 d d t 5 t 2 - 8 t + 4

e

5 t - 1 = 1 2 d d t ( 5 t 2 - 2 t + 1 )  

Então temos então

∫ 0 1 1 2 f 1 ' t f 1 t d t + ∫ 0 1 1 2 f 2 ' t f 2 t d t = 1 2 ln ⁡ f 1 + ln ⁡ f 2 0 1 = 1 2 ln ⁡ ( f 1   f 2 ) 0 1

= ln ⁡ 25 t 4 - 50 t 3 + 41 t 2 - 16 t + 4 0 1 = ln ⁡ 4 - l n 4 = 0

Resposta

0

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