Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25e

Escrever a função comprimento de arco de:

vec r (t) = (c o s 2 t , s e n 2 t) , t in [ 0 , pi ]

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s (t) = int_a^t |vec r^' (t^*)| d t^*

O que a gente vai fazer então é derivar a função vec r ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função vec r ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Derivando,

vec r^' (t) = (- 2 s e n (2 t) , 2 cos (2 t))

Show.

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

|vec r^' (t)|^2 = (- 2 s e n (2 t))^2 + (2 cos (2 t))^2

Desenvolvendo as contas:

|vec r^' (t)|^2 = 4 s e n^2 (2 t) + 4 cos^2 ( 2 t )

Botando o 4 em evidência:

|vec r^' (t)|^2 = 4 (s e n^2 (2 t) + cos^2 (2 t))

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

|vec r^' (t)|^2 = 4

Portanto, o módulo vai ficar:

|vec r^' (t)| = 2

Resultado engraçado, né? Mas vambora, segue o baile.

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s (t) = int_0^t |vec r^' (t^*)| d t^*

s (t) = int_0^t 2 d t^*

Integrando:

s (t) = (2 t)_0^t

Substituindo os limites de integração:

s (t) = 2 t - 2 ( 0 )

s (t) = 2 t

E esse comprimento vale para [0 , pi] .

Resposta

s (t) = 2 t , t in [0 , pi]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por σ t = t - sin ⁡ t ,1 - cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π a) Determine os intantes t 1 , t 2∈ 0,2 π onde v t = 1
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:e)σ t = t , ln ⁡
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:b) σ t = a cos ⁡
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:c)σ t = sen ⁡ t ,
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:a) σ t = e t cos