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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 1a

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

a) σ t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2

σ ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t , e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t

σ ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t 2

σ ' t = e t 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + e t 2 sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

σ ' t = e t cos 2 ⁡ t - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = e t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = e t 1 + 1

σ ' t = e t 2

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 e t 2   d t

L C = e t 2 0 2 = e 2 2 - e 0 2 = 2   ∙ e 2 - 1

Resposta

L C = 2   ∙ e 2 - 1     u . c .

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Calcule o comprimento da curva x = acos ⁡ θ + θs e nθ , y = as e nθ - θ cos ⁡ θ ,0 ≤ θ ≤ π
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Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:f) hélice circular r → t = 2 cos ⁡ t ,4 t ,2 s e n ( t ) de P 0 2,0 , 0 a P 1 0 ,2 π , 2
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:c) r → t = ti → + s e n t j → + 1 + cos ⁡ ( t ) k →,0 ≤ t ≤ 2 π