Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π

a) Determine os intantes t1, t2 ∈ [0, 2π] onde v(t) = 1

Passo 1

Show galera, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição:

V t = σ ' t

E vamos lembrar que a velocidade escalar é a norma desse vetor:

v t = V t

Logo, o que queremos é calcular a função:

v t = σ ' t

Pra isso, derivamos primeiro:

σ t = t - sin ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t    

σ ' t = 1 - cos ⁡ t ,   sin ⁡ t

E calculamos a norma depois:

σ ' t = 1 - cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2

σ ' t = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t

σ ' t = 1 - 2 cos ⁡ t + 1

σ ' t = 2 - 2 cos ⁡ t

v t = 2 - 2 cos ⁡ t

Como queremos achar os valores de t que satisfazem v t = 1 , fazemos:

1 = 2 - 2 cos ⁡ t

1 = 2 - 2 cos ⁡ t

- 1 = - 2 cos ⁡ t

1 2 = cos ⁡ t

Os únicos dois arcos t com esse valor de cosseno dentro de uma volta, ou seja, para 0 ≤ t ≤ 2 π , vão ser:

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Resposta

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

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