Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

c) σ(t) = (sen(t), t, 1 - cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = sen ⁡ t , t , 1 - cos ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2 π

σ ' t = cos ⁡ t , 1 , sen ⁡ t

σ ' t = cos ⁡ t 2 + 1 2 + sen ⁡ t 2

σ ' t = 1 + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = 1 + 1

σ ' t = 2

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 π 2   d t

L C = 2 t 0 2 π = 2 ∙ 2 π - 2 ∙ 0 = 2 π 2

Resposta

L C = 2 π 2     u . c .

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