Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 41

Calcule o comprimento da curva:

Passo 1

Olá, meu brother. Vamos resolver mais uma atividade.

Aqui a questão é bem direta, a gente precisa encontrar o comprimento da curva:

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

Passando ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando certo?

Agora com :

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

Colocando o termo semelhante em evidência:

Ainda que algumas coisas tenham saído da raiz, a integral não tá com sua melhor cara. Que tal fazermos uma substituição:

Substituindo na integral:

Integrando:

Desfazendo a substituição e tomando os limites da integração:

Resposta

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Calcule o comprimento da curva dada:a ) gamma (t) = (t cos t , t sin t) , t in [0 , 2 pi]

Seja γ : I → R 2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: γ ' s = 1 para todo s ∈ I ).a) Verifique que, para todo s ∈ I ,k s = γ ' ' s , onde k s é a curvatura em γ s .b) Prove que se k s = 0 ,

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →

Seja γ : a . b → R n , com derivada contínua, e tal que γ ' u ≠ 0 em a , b . Seja s : a , b → R dada por s t = ∫ a t γ ' u d u .a) Verifique que a função s = s t é inversível e seja t = t s sua invers