Calcule o comprimento da curva:

x = 1 + 3 t 2 ,     y = 4 + 2 t 3   ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Olá, meu brother. Vamos resolver mais uma atividade.

Aqui a questão é bem direta, a gente precisa encontrar o comprimento da curva:

x = 1 + 3 t 2 ,     y = 4 + 2 t 3   ,   0 ≤ t ≤ 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x  

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = ∫ a b 1 + d y d t d x d t 2 d x d t d t  

Passando d x d t   ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x   e   y ,   certo?

x = 1 + 3 t 2    

d x = 6 t   d t

d x d t 2 = 36 t 2

Agora com y :

y = 4 + 2 t 3

d y = 6 t 2   d t

d y d t 2 = 36 t 4

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = ∫ 0 1 36 t 2 + 36 t 4   d t  

Colocando o termo semelhante em evidência:

L = ∫ 0 1 36 t 2 ( 1 + t 2 )   d t  

L = ∫ 0 1 6 t 1 + t 2   d t  

Ainda que algumas coisas tenham saído da raiz, a integral não tá com sua melhor cara. Que tal fazermos uma substituição:

u = 1 + t 2

d u = 2 t   d t

d u 2 t =   d t

Substituindo na integral:

L = ∫ 0 1 6 t u   d u 2 t  

L = ∫ 0 1 3 u   d u  

L = 3 ∫ 0 1 u   d u  

Integrando:

L = 3 ⋅ 2 3 u 3 2 0 1

Desfazendo a substituição e tomando os limites da integração:

L = 2 1 + t 2 3 2 0 1

L = 2 ⋅ 2 3 2 - 2

L = 2 ( 2 2 - 1 )

Resposta

L = 2 ( 2 2 - 1 )

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