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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 39

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t + cos ⁡ t ,     y = t - s e n   t   ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? A questão nos pede para montar e resolver a integral que descreve o comprimento da curva paramétrica dada por

x = t + cos ⁡ t ,     y = t - s e n   t  

0 ≤ t ≤ 2 π

Mas como fazemos isso?

A fórmula geral que descreve o comprimento de uma curva paramétrica qualquer é

L = ∫ α β d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Dessa forma, como já temos o intervalo de integração ( 0 ≤ t ≤ 2 π ), só precisamos calcular as derivadas de x e y em t para montar a nossa integral!

Em seguida só precisamos resolvê-la normalmente.

Passo 2

Calculando as derivadas, temos

x = t + cos ⁡ t    

d x = 1 - s e n   t   d t

d x d t 2 = 1 - 2 s e n   t + s e n 2 t

y = t - s e n   t

d y = 1 - cos ⁡ t   d t

d y d t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Passo 3

Substituindo as derivadas que encontramos e os limites de integração na fórmula, ficamos com

L = ∫ 0 2 π 1 - 2 s e n   t + s e n 2 t + 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t   d t  

E usando a identidade trigonométrica s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 , podemos simplificar essa expressão para

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t  

E, usando uma calculadora (ou um software matemático qualquer), obtemos o seguinte resultado

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t   ≈ 10,0367

Resposta

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t   ≈ 10,0367

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