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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 30

Escrever a função vetorial que associa a cada ponto do espaço um vetor unitário com a mesma direção do vetor posição e sentido contrário.

Passo 1

Galera, ele pede pra gente escrever uma função vetorial... epa epa epa, que é isso mesmo? É igualzinho a escrever uma função daquele jeito com parênteses, assim:

f ( x ,   y ) = ( a ,   b )

Mas aqui a gente vai botar também as componentes do eixo x e y pra jogo, assim:

f ( x , y ) = a i → + b i →

Passo 2

Nessa questão em particular, a gente quer a função que associa o ponto do espaço com um vetor na mesma direção, mas com sentido contrário, então essa função tem essa cara aqui:

f x , y , z = - ( x , y , z )

Mas por que 3 variáveis? Porque ele falou que a função é no espaço! Isso aí é quase sinônimo de 3 variáveis hahaha

Se liga que falta uma coisa: ele disse que o vetor vai ser unitário! E tendo um vetor, como a gente chega no unitário dele? É só dividir pelo módulo dele! O módulo desse vetor é:

x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

E então, a nossa função vai ser:

f x , y , z = - ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2

Desenvolvendo,

f x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 ,   - y x 2 + y 2 + z 2 ,   - z x 2 + y 2 + z 2

E na forma vetorial...

f x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 i → - y x 2 + y 2 + z 2 j → - z x 2 + y 2 + z 2 k →

Resposta

f x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 i → - y x 2 + y 2 + z 2 j → - z x 2 + y 2 + z 2 k →

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