Nos exercícios de 1 a 6 , σ(t) denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:

1) σ(t) = (2 + cos(6t), 2 + sen(6t), t1 = π / 9)

d) dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t = t1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V(t₁) e A(t₁)

Passo 1

Pô galera, todo vetor velocidade é tangente ao vetor posição em qualquer instante de tempo. Quer vetor tangente? Vamos então fazer:

V t 1 = σ ' t 1

Que nesse caso será:

σ t = 2 + cos ⁡ 6 t , 2 + sen ⁡ 6 t

σ ' t = - 6 sen ⁡ 6 t , 6 cos ⁡ 6 t

Aplicando t 1 , temos:

V π 9 = σ ' π 9 = - 6 sen ⁡ 6 ∙ π 9 , 6 cos ⁡ 6 ∙ π 9 = - 6 sen ⁡ 2 π 3 , 6 cos ⁡ 2 π 3

σ ' π 9 = - 6 ∙ 3 2 , - 6 ∙ 1 2 = - 3 3 , - 3

E veja só, o vetor - V π 9 é um vetor com mesma direção do vetor V π 9 mas sentidos opostos. Isso na prática quer dizer que ele também é um vetor tangente! Dois vetores tangentes então são:

v t 1 = V π 9 = - 3 3 , - 3

v t 2 = - V π 9 = 3 3 , 3

Mas como queremos vetores unitários, temos que dividir ambos pelo módulo de cada um! Por sorte só vamos precisar calcular uma vez já que o módulo deles é igual:

v t 1 = - 3 3 2 + - 3 2 = 27 + 9 = 36 = 6

Os vetores unitários serão então:

v t 1 u = v t 1 v t 1 = - 3 3 , - 3 6 = - 3 2 , - 1 2

v t 2 u = v t 2 v t 1 = 3 3 , 3 6 = 3 2 , 1 2

Passo 2

Pra fazer um esboço da trajetória a melhor forma é manipular a parametrização pra sair uma equação cartesiana. Veja que nela, temos:

x = 2 + cos ⁡ 6 t y = 2 + sin ⁡ 6 t

O que é o mesmo que:

x - 2 = cos ⁡ 6 t y - 2 = sin ⁡ 6 t

x - 2 2 = cos 2 ⁡ 6 t y - 2 2 = sin 2 ⁡ 6 t

Somando as duas equações

x - 2 2 + y - 2 2 = cos 2 ⁡ 6 t + sin 2 ⁡ 6 t

x - 2 2 + y - 2 2 = 1

O que dá uma circunferência centrada em 2,2 de raio 1 . Um esboço da trajetória bom é:

Resposta

v t 1 u = - 3 2 , - 1 2

v t 2 u = 3 2 , 1 2

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