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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 42

Esfriamento da prata em contato com o ar. Neste momento, a temperatura de um lingote de prata é de 60 ° C acima da temperatura ambiente. Vinte minutos atrás, era de 70 ° C acima da temperatura ambiente. Quantos graus acima da temperatura ambiente o lingote estará

a. daqui a 15 minutos?

b. daqui a 2 horas?

c. Quando o lingote estará 10 ° C acima da temperatura ambiente?

Passo 1

Pelo Lei de resfriamento de Newton, temos

H - H s = ( H 0 - H s ) e - k t

Utilizando os dados fornecidos no enunciado teremos que H 0 = 70 + H s   , já que a vinte minutos atrás, a temperatura era de 70 ° C acima da temperatura ambiente. Com isso, sabemos que em t = 20 , H = 60 + H s . Dessa forma, podemos determinar o valor de k , ou seja,

( 60 + H s ) - H s = ( ( 70 + H s ) - H s ) e - k ( 20 )

⇒ 60 = 70 e - 20 k ⇒ e - 20 k = 60 70

⇒ l n ⁡ ( e - 20 k ) = ln ⁡ 6 7 ⇒ - 20 k = ln ⁡ 6 7

⇒ k = ln ⁡ 6 7 - 20 ≈ 0,00771

Logo,

H - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t

Passo 2

Desejamos saber qual a temperatura do lingote daqui a 15 minutos. Como estamos sempre considerando a temperatura acima do ambiente, então considere H = x + H s , onde x representa a temperatura que desejamos encontrar em t = 15 .

Sendo assim,

H - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t

⇒ ( H s + x ) - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) 35

⇒ x = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) 35

⇒ x = 70 e - 0,26985 ≈ 53,44

Lembrando que consideramos o tempo como t = 35 , já que se havia passado vinte minutos desde o início da medição. Dessa forma:

20 minutos + 15 minutos = 35 minutos.

Portanto, a temperatura do lingote daqui a 15 minutos, será 53,44 ° C

Passo 3

Desejamos saber qual a temperatura do lingote daqui a 2 horas, ou seja, daqui a 120 minutos. Como estamos sempre considerando a temperatura acima do ambiente, então considere H = y + H s , onde y representa a temperatura que desejamos encontrar em t = 120 .

Sendo assim,

H - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t

⇒ ( H s + y ) - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) 140

⇒ y = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) 140

⇒ y = 70 e - 1,0794 ≈ 23,79

Lembrando que consideramos o tempo como t = 140 , já que se havia passado vinte minutos desde o início da medição. Dessa forma:

20 minutos + 120 minutos = 140 minutos.

Portanto, a temperatura do lingote daqui a 2 horas, será 23,79 ° C

Passo 4

Queremos agora saber quanto tempo levará para o lingote esteja a 10 ° C acima da temperatura ambiente. Ou seja, qual o valor de t , quando H = 10 + H s ,

H - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t

⇒ ( 10 + H s ) - H s = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t

⇒ 10 = ( 70 ) e - ( 0,00771 ) t ⇒ e - ( 0,00771 ) t = 10 70

⇒ l n ⁡ ( e - ( 0,00771 ) t ) = ln ⁡ 1 7 ⇒ - ( 0,00771 ) t = ln ⁡ 1 7

⇒ - 0,00771 t = ln ⁡ 1 7 ⇒ t = ln ⁡ 1 7 - 0,00771 ≈ 252,39

Lembrando que já que se havia passado vinte minutos desde o início da medição. Dessa forma:

252,39 minutos -   20 minutos = 232,39   minutos.

Portanto, a temperatura do lingote atingirá 10 ° C acima da temperatura ambiente, em aproximadamente 232,39   minutos.

Resposta

Item a. x ≈ 53,44

Item b.   y ≈ 23,79  

Item c. t ≈ 232,39

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