Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 24
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
24.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:
Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:
Colocando em evidência, teremos:
Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
E, por fim, podemos escrever a primeira integral do lado direito da equação da seguinte forma:
Para a integral da esquerda basta olharmos uma tabelinha de integrais que descobriremos o resultado, já que é bem conhecido. O resultado é:
Show!
Passo 4
Já para a primeira integral do lado direito da equação devemos utilizar o método de integração por partes, ok? A substituição que iremos fazer será a seguinte:
Caso você não se lembre, a fórmula da integração por partes é essa aqui:
Substituindo os resultados que temos:
Qual função que quando derivada resulta em ? Ela mesma, não é? Então:
Para a última integral nem há muito segredo, basta pensarmos em uma função que quando derivada resulta em . O resultado é:
Passo 5
Por fim, igualando os resultados:
Simplificando, teremos:
Juntando , e teremos uma quarta constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
E essa é a nossa função! 😊