Esfriamento de sopa. Suponha que, após 10 minutos em uma sala cuja temperatura seja 20 ° C , a temperatura de uma tigela com sopa tenha passado de 90 ° C para 60 ° C . Use a lei do resfriamento de Newton para responder às seguintes perguntas:

a. Quanto tempo mais levará para que a sopa chegue a 35 ° C ?

b. Em vez de ser deixada na sala, a tigela com a sopa de 90 ° C

é colocada em um freezer, cuja temperatura é - 15 ° C . Quanto

tempo levará para a sopa esfriar de 90 ° C a 35 ° C ?

Passo 1

Pelo Lei de resfriamento de Newton, temos

H - H s = ( H 0 - H s ) e - k t

Utilizando os dados fornecidos no enunciado teremos que H 0 = 90 °   pois é a temperatura inicial da sopa e H = 60 ° corresponde a temperatura da sopa em t = 10 . Além disso, H s = 20 ° já que é a temperatura da tigela. Dessa maneira,

60 - 20 = ( 90 - 20 ) e - k ( 10 )

⇒ 40 = ( 70 ) e - 10 k ⇒ e - 10 k = 40 70

⇒ l n ⁡ ( e - 10 k ) = ln ⁡ 4 7 ⇒ - 10 k = ln ⁡ 4 7

⇒ k = ln ⁡ 4 7 - 10 ≈ 0,05596

Passo 2

Desejamos saber quanto tempo mais levará para que a sopa chegue a   35 º C . Ou seja, qual o valor de t quando H = 35 ° . Sendo assim,

35 - 20 = ( 90 - 20 ) e - 0,05596 t

⇒ 15 = ( 70 ) e - 0,05596 t ⇒ e - 0,05596 t = 15 70

⇒ l n ⁡ ( e - 0,05596 t ) = ln ⁡ 15 70 ⇒ - 0,05596 t = ln ⁡ 15 70

⇒ t = ln ⁡ 15 70 - 0,05596 ≈ 27,5

Porém, o tempo que encontramos está considerando os 10   primeiros minutos. Mas, desejamos saber o tempo a partir dos 10 minutos, sendo assim precisamos desconta-lo, ou seja,

27,5 - 10 = 10,5  

Isso significa que foram necessários 10,5 minutos a mais para que a sopa atingisse uma temperatura de 35 ° .

Passo 3

Desejamos saber quanto tempo levará para que a sopa esfrie de 90 ° para   35 º C .Sabendo que a temperatura do freezer é - 15 ° .Sendo assim,

35 - ( - 15 ) = ( 90 - ( - 15 ) ) e - 0,05596 t

⇒ 35 + 15 = ( 90 + 15 ) e - 0,05596 t

⇒ 50 = ( 105 ) e - 0,05596 t ⇒ e - 0,05596 t = 50 105

⇒ l n ⁡ ( e - 0,05596 t ) = ln ⁡ 50 105 ⇒ - 0,05596 t = ln ⁡ 50 105

⇒ t = ln ⁡ 50 105 - 0,05596 ≈ 13,26

Isso significa que foram necessários 13,26 minutos para que a sopa passasse de 90 ° para 35 ° .

Resposta

Item a. k ≈ 0,05596

Item b.   t ≈ 10,5  

Item c. t ≈ 13,26

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