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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 21

Resolva a equação diferencial

(1)/(x) (d y)/(d x) = y e^(x^2) + 2 sqrt(y) e^(x^2)

Passo 1

Inicialmente reescreveremos a equação que nos foi dada, ou seja,

(1)/(x) (d y)/(d x) = e^(x^2) ( y + 2 sqrt(y) )

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

(1)/(y + 2 sqrt(y)) d y = x e^(x^2) d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

int (1)/(y + 2 sqrt(y)) d y = int x e^(x^2) d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y , usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = sqrt(y) = y^((1)/(2)) => d u = (1)/(2 y^((1)/(2))) d y => d y = 2 y^((1)/(2)) d u = 2 u d u . Além disso, como u = sqrt(y) então y = u^2

int (1)/(y + 2 sqrt(y)) d y = int (1)/(u^2 + 2 u) ( 2 u ) d u = int (2 u)/(u ( u + 2 )) d u = int (2)/(( u + 2 )) d u = 2 int (1)/(( u + 2 )) d u = 2 l n | u + 2 | + C_1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

2 l n | u + 2 | + C_1 = 2 l n | sqrt(y) + 2 | + C_1

Logo,

int (1)/(y + 2 sqrt(y)) d y = 2 l n | sqrt(y) + 2 | + C_1

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = x^2 => d u = 2 x d x => d x = (d u)/(2 x) . Daí,

int x e^(x^2) d x = int x e^u (d u)/(2 x) = (1)/(2) int e^u d u = (1)/(2) e^u + C_2

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

(1)/(2) e^u + C_2 = (1)/(2) e^(x^2) + C_2

Logo,

int x e^(x^2) d x = (1)/(2) e^(x^2) + C_2

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

int (1)/(y + 2 sqrt(y)) d y = int x e^(x^2) d x

=> 2 l n | sqrt(y) + 2 | + C_1 = (1)/(2) e^(x^2) + C_2

De maneira geral teremos

2 ln |sqrt(y) + 2| - (1)/(2) e^(x^2) = C

Onde, C = C_2 - C_1

Resposta

A solução da EDO é:

2 ln |sqrt(y) + 2| - (1)/(2) e^(x^2) = C

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