Enunciado

A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, frequentemente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos Problemas 53-56 compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.

53. d y d x = y - 1 2 , no qual y 0 = 1 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

d y d x = y - 1 2

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y y - 1 2 = d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y y - 1 2 = ∫ d x

Para a integral da esquerda vamos fazer uma substituição simples, tudo bem? A substituição será:

u = y - 1

d u = d y

Substituindo, teremos:

∫ d u u 2 = ∫ u - 2 d u

Para resolvermos a integral assim devemos aplicar a seguinte regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

∫ u - 2 d u = u - 1 - 1 + c 1 = - 1 u + c 1

Voltando para y :

∫ d y y - 1 2 = - 1 y - 1 + c 1

Já a integral da direita tem um resultado bem tranquilo, saca só:

∫ d x = x + c 2

Top!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

- 1 y - 1 + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

- 1 y - 1 = x + c 3

Simplificando:

y = x + c 3 - 1 x + c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Se aplicarmos o ponto que nos foi dado não conseguiremos um resultado para c , dessa forma, uma solução singular ocorre para y = 1 . Então essa é a nossa resposta!

Resposta

y = 1

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