Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 36
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
36.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:
Para simplificarmos esse trem todo temos que lembrar da soma e diferença de arcos do seno, tudo bem? A soma é assim:
Já a diferença é assim:
Substituindo, teremos:
Simplificando, teremos:
Como , podemos finalizar assim:
Ufa! Foi complicado mas deu certo! Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a primeira integral devemos fazer uma substituição, que é:
Derivando:
Substituindo, teremos:
Essa integral, assim como a integral do lado direito, possui um valor determinado e tabelado. Consultando uma tabelinha de integrais, veremos que o resultado é:
Voltando para a variável :
Já a segunda integral, como já sabemos, o resultado é:
Passo 4
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
E essa é a nossa função!