Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → - 1 ⁡ 3 x + 8 = 5

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 3 x + 8 seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha - 1 , mas não necessariamente definida para quando x = - 1 . O polinômio 3 x + 8 definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha - 1 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - ( - 1 ) < δ   , então 3 x + 8 - 5 < ϵ

Se 0 < x + 1 < δ   , então 3 x + 3 < ϵ

Passo 2

Agora vamos fazer algumas manipulações na seguinte desigualdade 3 x + 3 < ϵ . Vamos por o número 3 em evidência e depois dividir toda a expressão por 3 .

3 ( x + 1 ) < ϵ

3 ( x + 1 ) < ϵ ∙ 1 3

x + 1 < 1 3 ϵ

Passo 3

Se x + 1 < 1 3 ϵ equivale a 3 x + 3 < ϵ , então podemos dizer que

Se 0 < x + 1 < δ   , então x + 1 < 1 3 ϵ

Passo 4

Agora nossa afirmativa indica que 1 3 ϵ é um δ satisfatório. Tendo essa escolha de δ e manipulando a expressão multiplicando-a por 3 temos o seguinte argumento:

0 < x + 1 < δ  

0 < x + 1 < δ ∙ 3

0 < 3 x + 3 < 3 δ

0 < 3 x + 3 < ϵ , pois 1 3 ϵ =   δ

Como podemos estabelecer 1 3 ϵ =   δ , a afirmativa da Definição 2.1.1 é verdadeira e isso prova que lim x → - 1 ⁡ 3 x + 8 = 5 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico. y = x 2 ⋅ x 2 - 1 2 ⋅ ( x + 2 )
Seremos capazes de mostrar, no Capítulo 9 do Volume II, que, sob certas condições, a velocidade v ( t ) de uma gota de chuva caindo no instantet é v t = v * ( 1 - e - g t v * ) Encontre lim t → ∞ ⁡ v
Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico. y = 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4
Faça um esboço da curva y = x n( ni n t e i r o ) nos seguintes casos. n = 0 n0( ní m p a r ) í n0( np a r ) n0( ní m p a r ) í n0( np a r ) Então use esses esboços para calcular os seguintes limites
Demonstre, usando a definição 9, que underset(x - oo)(lim) x^3 = oo