Mostre que entre todos os retângulos tendo um perímetro de 36 cm, o quadrado com 9 cm de lado tem a maior área.

A área deste retângulo será dada por:

(2)

De (1) temos:

Substituindo em (2) temos:

Como agora depende somente da variável podemos reescrever:

Note que, como e são medidas de lados do retângulo, devemos ter e . Assim:

Logo, temos .

Derivando a equação da área temos:

Como é uma equação polinomial, temos que essa derivada existe para todo valor de . Desta forma, os pontos críticos de ocorrem quando . Assim:

Note que:

Se , temos ;

Se , temos .

Assim, pelo teste da primeira derivada temos um máximo de em .

Substituindo em (1) temos:

Portanto, o retângulo de perímetro 36 cm e com maior área é o quadrado de lado 9 cm, como queríamos mostrar.