Mostre que entre todos os retângulos tendo um perímetro de 36 cm, o quadrado com 9 cm de lado tem a maior área.

Passo 1

Seja o retângulo dado abaixo:

Por hipótese temos que seu perímetro é igual a 36. Assim:

2 x + 2 y = 36 ⇒

2 x + y = 36 ⇒

x + y = 36 2 ⇒

x + y = 18 (1)

Passo 2

A área deste retângulo será dada por:

A = x . y (2)

De (1) temos:

y = 18 - x

Substituindo em (2) temos:

A = x ( 18 - x )

Como agora A depende somente da variável x podemos reescrever:

A x = x 18 - x ⇒

A x = 18 x - x 2

Note que, como x e y são medidas de lados do retângulo, devemos ter x > 0 e y > 0 . Assim:

y > 0 ⇒

18 - x > 0 ⇒

x < 18

Logo, temos 0 < x < 18 .

Passo 3

Derivando a equação da área temos:

A ' x = 18 - 2 x

Como A ' é uma equação polinomial, temos que essa derivada existe para todo valor de x . Desta forma, os pontos críticos de A ocorrem quando A ' x = 0 . Assim:

A ' x = 0 ⇒

18 - 2 x = 0 ⇒

18 = 2 x ⇒

x = 18 2 ⇒

x = 9

Note que:

Se x < 9 , temos A ' x > 0 ;

Se x > 9 , temos A ' x < 0 .

Assim, pelo teste da primeira derivada temos um máximo de A em x = 9 .

Substituindo x = 9 em (1) temos:

9 + y = 18 ⇒

y = 18 - 9 ⇒

y = 9

Portanto, o retângulo de perímetro 36 cm e com maior área é o quadrado de lado 9 cm, como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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