Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 30b
Estão definidas as funções e . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta:
Passo 1
Pra fazer a composição de duas funções não tem stress, é só seguir um passo a passo na tranquilidade:
- Identificar a composição que deve ser feita.
- Aplicar a função de “fora” na função de “dentro”. E temos a nossa função composta!
- Analisar o domínio considerando as raízes, os logaritmos, os quocientes, coisas desse tipo que possam restringir o nosso domínio.
A questão nos pede , que por definição é o mesmo que . Daí já sabemos que é a nossa função de fora e é a nossa função de dentro!
Passo 2
Vamos substituir na nossa composição:
Agora vamos substituir essa raiz no da e temos a nossa função composta
Passo 3
Pra fechar com chave de ouro é só analisar o domínio para ambas as raízes. Vamos definir o domínio para cada uma delas e depois calcular a intersecção dos intervalos e teremos o intervalo que define o domínio da
Para a raiz de dentro, precisamos que:
Ou seja
Agora para a 2ª raiz:
Simplificando:
Ou seja:
Agora precisamos calcular a intercessão de ambos os conjuntos encontrados. Reescrevendo essa interseção em termos de conjuntos:
Ficamos com o conjunto resultante que define nosso domínio:
Podemos enxergar essa interseção mais facilmente na reta numérica:
na reta numérica:
na reta numérica:
Vemos que a interseção de ambos esses intervalos será igual ao intervalo de baixo!