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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.6 - Ex. 37C

Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar o valor do limite da função dada por 2 caminhos, primeiro iremos criar uma tabela para os valores de f ( x ) , onde iremos colocar valores cada vez maiores e iremos ver para onde a função nos leva. Depois disso iremos provar que estamos certos, agora realmente resolvendo o limite.

Passo 2

Para demonstrar que está correto, iremos calcular o limite de forma algébrica. Porém, como é um limite no infinito, devemos mexer algebricamente na função de forma a tentar facilitar nossa vida, pois não podemos simplesmente trocar x   por - ∞ .

Seja f x = x 2 + x + 1 + x , multiplicaremos tudo pelo conjudado, tal que o conjugado vale 1, então

1 = x 2 + x + 1 - x x 2 + x + 1 - x

Então, ficamos com

f x = x 2 + x + 1 + x ⋅ x 2 + x + 1 - x x 2 + x + 1 - x

f x = ( x 2 + x + 1 ) - x 2 x 2 + x + 1 - x = x + 1 x 2 + x + 1 - x

Agora, dividiremos em cima e em baixo pelo denominador de maior potência, no caso, x para que possamos anular o termo quando x →   - ∞ .

Daí, temos

f x = ( x + 1 ) ⋅ 1 x x 2 + x + 1 - x ⋅ 1 x = 1 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

Note que o sinal negativo apareceu no denominador, pois x é menor que zero, logo x 2 = x = - x , então ao dividirmos pelo denominador de maior potencia ficamos com,

1 x ⋅ x 2 + x + 1 = - 1 x 2   x 2 + x + 1 = - 1 + 1 x + 1 x 2

Passo 3

Agora, aplicaremos o limite na f ( x ) que encontramos, porém precisamos lembrar de duas coisas, a primeira é que lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0 e a segunda é que lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0 , então,

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x  

= lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

= 1 + 0 - 1 + 0 + 0 - 1 = - 1 2

Passo 4

Agora iremos aqui criar a nossa tabela de valores.

Podemos ver que o valor que encontramos é de fato o valor para o qual a função caminha.

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   = - 1 2

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