Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 10
a. Dê um exemplo de uma função derivável cuja primeira derivada seja zero em algum ponto , embora f não tenha nem um máximo local nem um mínimo local em .
b. Como isso é consistente com o Teorema 2 da Seção 4.1? Justifique sua resposta.
Passo 1
Uma ideia que pode se ter para supor uma função com esse comportamento é escolher o ponto .
Então, deve-se escolher uma função que seja estritamente crescente ou estritamente decrescente para que ela não mude o comportamento em todo o seu domínio e, consequentemente, não apresente nenhum máximo ou mínimo local em .
Passo 2
Tendo essas informações um exemplo de função que atende a esses critérios é , pelo fato de que:
E:
Passo 3
Agora, para verificar se a função possui máximo ou mínimo local em temos que avaliar a derivada em ambos os lados do ponto. Logo,
Para , é positiva;
Para , é positiva.
Assim, este ponto não é máximo nem mínimo local.
Resposta
a. .
b. O Teorema 2 diz apenas que se é diferenciável e possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto no seu domínio, então . Porém, ele não garante que o processo inverso () ocorre. Portanto, a proposta da parte (a) é consistente com o Teorema 2.