Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 20
Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de . Primeiro vamos fazer
Derivando:
Os pontos crítos são aqueles que a derivada é ou não existe. Como chegamos em um expoente negativo, a derivada não vai existir quando o . Mas a própria função também tem isso. Então, não existe na função, logo não pode ser extremo nem ponto de inflexão.
Isso porque:
Ai, quando o denominador é
Passo 2
Vamos para os outros pontos críticos, que é quando a derivada é .
Fazendo:
Vamos ter:
Passo 3
Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos
Se ou não existir, não funciona o teste.
Vamos ter
Temos que ver o valor de para
Simplificando aquele e por , temos:
Logo é ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Vamos agora para a concavidade
Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.
Para isso, vamos fazer:
Como temos apenas o , antes dessa raiz a função vai ser negativo e depois ela vai ser positivo.
Então, a função é côncava para baixo para valores menores que , e côncava para cima para valores maiores que .
Assim o ponto de inflexão é:
Passo 5
Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:
Máximo relativo:
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar:
Resposta
Máximo relativo:
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar: