Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 24
Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de . Para isso vamos usar a regra do produto
Colocando em evidência:
Os pontos crítos são aqueles que a derivada é ou não existe. A secante não vai existir quando o cosseno for igual a . Isso porque
Mesma coisa rola com a tangente
No intervalo de , não temos nenhum valor que zera o cosseno.
Então vamos ver quando a derivada é
Fazendo:
Não teremos solução na primeira, a secante nunca é .
Da segunda
Da identidade fundamental trigonométrica
Mas se substituirmos , vamos chegar em
O que não vai acontecer, porque não podemos ter um número ao quadrado sendo negativo.
Então não vamos ter extremos.
Passo 2
Vamos agora para a concavidade:
Para fazer a derivada vamos usar a regra do produto e depois a regra da cadeira.
Colocando em evidência
Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.
A expressão dentro do parênteses é sempre positiva. Isso porque secante é maior que e tangente ao quadrado é maior que .
No fundo o sinal depende só de , isso porque, no intervalo dado a secante é positiva.
Vamos olhar o sinal da tangente.
Ela é positiva depois de e negativa antes.
Então o ponto de inflexão é:
E vai ser côncava para cima em e para baixo em
Passo 3
Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar:
Resposta
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar:
