Enunciado

92) Dê exemplo de uma função f que seja descontínua em 1, para qual

(a) lim x → 1 ⁡ f x existe, mas f ( 1 ) não existe;

(b) f ( 1 ) existe, mas lim x → 1 ⁡ f x não existe;

(c) f ( 1 ) e lim x → 1 ⁡ f x ambos existem, mas não são iguais.

Passo 1

(a) Um exemplo para a situação em que existe o limite mas não existe o f do ponto é a função:

f x = x 3 - 1 x - 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 3

f 1   n ã o   e x i s t e

(b) Um exemplo para a situação em que existe o f do ponto mas não existe o limite é a função:

f x = 2 x - x 3 ,   x < 1 2 x 2 - 2 ,   x ≥ 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 1

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 0

Logo, não existe lim x → 1 ⁡ f ( x )

Mas,

f 1 = 0

(c) Um exemplo para a situação em que existe o f do ponto e existe o limite é a função mas não são iguais, é

f x = x 2 - 1 x + 1 , s e     x ≠ 1 5 ,   s e   x = 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 0

Logo, existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) =0

E,

f 1 = 5

Resposta

a) f x = x 3 - 1 x - 1

b) f x = 2 x - x 3 ,   x < 1 2 x 2 - 2 ,   x ≥ 1

c) f x = x 2 - 1 x + 1 , s e     x ≠ 1 5 ,   s e   x = 1

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