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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 8

A instrução para a integral ∫ 2 4 1 s - 1 2   d s , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( 4   –   2 ) 4 = 1 2

T = 1 / 2 2 (1 + 2 * 4 9 + 2 * 1 4 + 2 *   4 25 + 1 9 )

T = 1 4 (1 + 8 9 + 1 2 + 8 25 + 1 9 )

T = 1 4 ( 1269 450 ) ≈ 0,705

f(s) = 1 ( s - 1 ) 2 => f’(s) = - 2 ( s - 1 ) 3 => f”(s) = 6 ( s - 1 ) 4 ;

Logo o M = f”(s1) = 6 ( 2 - 1 ) 4 = 6 e | ET | ≤   ( 4 - 2 ) 12 6 1 2 2 = 1 4

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f ( x )   d x – T).

(b) ∫ 2 4 1 s - 1 2   d s

= - 1 ( s - 1 ) 2 4

        =   - 1 ( 4 - 1 ) - - 1 ( 2 - 1 )

= - 1 3 + 1 = 2 3

| ET | = ( ∫ 2 4 1 s - 1 2   d s ) – T = 2 3 – 0,705 = -   0,03833 = 0,03833

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,03833 2 / 3 * 100 ≈ 6%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( 4 - 2 ) 4 = 1 2

S = 1 / 2 3 (1 + 4 * 4 9 + 2 * 1 4 + 4 *   4 25 + 1 9 )

S = 1 6   (1 + 16 9 + 1 2 + 16 25 + 1 9 )

S = 1 6 ( 1813 450 ) ≈ 0,67148

f(s) = 1 ( s - 1 ) 2 => f’(s) = - 2 ( s - 1 ) 3 => f”(s) = 6 ( s - 1 ) 4 => f(4)(s) = 120 ( s - 1 ) 6

Logo o M = f(4)(s1) = 120 ( 2 - 1 ) 6 = 120 e | ES | ≤   ( 4 - 2 ) 180 120 1 2 4 = 1 12

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f ( x ) d x – S).

(b) ∫ 2 4 1 s - 1 2   d s

= - 1 ( s - 1 ) 2 4

        =   - 1 ( 4 - 1 ) - - 1 ( 2 - 1 )

= - 1 3 + 1 = 2 3

| ES | = ( ∫ 2 4 1 s - 1 2   d s ) – S = 2 3 - 0,67148 = - 0,0481 = 0,0481

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,0481 2 / 3 * 100 = 1%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que f seja uma função continua no intervalo fechado a , b . Sejam T e S os valores aproximados de ∫ a b f x d x pelas regras do trapézio e de Simpson, respectivamente, usando para ambas a mesm
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Calcule a integral definida por dois métodos: a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ; b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo ∫ 1 3 4 x 3 - 3 x 2 + 1 d x
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